Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10−1112434h[n]n−10−3142−234

On effectue la convolution des suites x[n] = {−1, 1, 4} et h[n] = {−3, 4, −2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−1, 1, 4}, n = 0…2h[n] = {−3, 4, −2}
Σy[n] =
2.Facile
x[n]n−10124334−15h[n]n−10−1142

La suite x[n] est non nulle pour n = 2…4 et h[n] pour n = 0…1, comme indiqué. Trouvez le dernier indice nlast pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 2…4h[n]: n = 0…1
nlast =
3.Moyen
x(t)t4h(t)t0,21

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−5tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 4·u(t). Trouvez la sortie y(0,8) à t = 0,8 s.

h(t) = e−5tu(t)x(t) = 4·u(t)t = 0,8 s
y(0.8) =
4.Moyen
x(t)t210h(t)t1

L’impulsion x(t) = 10 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−4tu(t). Trouvez la sortie y(3) à t = 3 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 10, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−4tu(t)t = 3 s
y(3) =
5.Difficile
δ(t)y′ + 4y = 2xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 4·y(t) = 2·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 0,25 s, h(0,25).

y′ + 4y = 2xt = 0,25 s
h(0.25) =
6.Difficile
5cos(20t)h(t) = 5e−20t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 5·cos(20t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 5·e−20tu(t). Trouvez la phase φ de la sortie en régime permanent par rapport à l’entrée, en degrés.

h(t) = 5e−20tu(t)x(t) = 5cos(20t)
φ = °

Corrigé

  1. 1. Σy[n] = −4
  2. 2. nlast = 5
  3. 3. y(0.8) = 0,7853
  4. 4. y(3) = 0,04577
  5. 5. h(0.25) = 0,7358
  6. 6. φ = −45 °

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