Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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1.Facile
x[n]n−1021−32234h[n]n−104112134

Les suites x[n] = {2, −3, 2} et h[n] = {4, 1, 1} commencent toutes deux en n = 0. Trouvez le plus grand échantillon ymax de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, −3, 2}, n = 0…2h[n] = {4, 1, 1}, n = 0…2
ymax =
2.Facile
x[n]n−102132234h[n]n−10112234

On effectue la convolution des suites x[n] = {2, 3, 2} et h[n] = {1, 2}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {2, 3, 2}, n = 0…2h[n] = {1, 2}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t21h(t)t1

L’impulsion x(t) = 1 pour 0 ≤ t < 2 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−2tu(t). Trouvez la sortie y(3,5) à t = 3,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 2 sh(t) = e−2tu(t)t = 3,5 s
y(3.5) =
4.Moyen
x(t)t2h(t)t0,51

Un système a pour réponse impulsionnelle h(t) = e−2tu(t). L’entrée est un échelon x(t) = 2·u(t). Trouvez la sortie y(0,25) à t = 0,25 s.

h(t) = e−2tu(t)x(t) = 2·u(t)t = 0,25 s
y(0.25) =
5.Difficile
u[n]2+y[n]0,8·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,8·y[n − 1] + 2·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[5].

y[n] = 0,8y[n − 1] + 2x[n]x[n] = u[n]
y[5] =
6.Difficile
x(t)t (ms)0,5242

Un train d’impulsions a pour hauteur 2, pour largeur d’impulsion 0,5 ms et pour période 2 ms. Trouvez l’amplitude c1 de l’harmonique de rang 1, à 500 Hz.

A = 2τ = 0,5 msT = 2 ms
c1 =

Corrigé

  1. 1. ymax = 8
  2. 2. Σy[n] = 21
  3. 3. y(3.5) = 0,02444
  4. 4. y(0.25) = 0,3935
  5. 5. y[5] = 7,379
  6. 6. c1 = 0,9003

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