Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−10111213345h[n]n−100,510,252−0,534

Un filtre RIF calcule y[n] = 0,5·x[n] + 0,25·x[n − 1] − 0,5·x[n − 2]. L’entrée est x[n] = {1, 1, 1, 3} pour n = 0…3 et nulle ailleurs. Trouvez la sortie y[4].

b = {0,5, 0,25, −0,5}x[n] = {1, 1, 1, 3}, n = 0…3
y[4] =
2.Facile
x[n]n−103132333…h[n]n−10−2132434

Un système de réponse impulsionnelle h[n] = {−2, 3, 4} (n = 0…2) reçoit l’entrée en échelon x[n] = 3·u[n]. Trouvez la sortie y[3].

h[n] = {−2, 3, 4}x[n] = 3·u[n]
y[3] =
3.Moyen
x(t)t0,52h(t)t1

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 0.5 s (nulle ailleurs) est appliquée à un système de réponse h(t) = e−4tu(t). Trouvez la sortie y(2,5) à t = 2,5 s, une fois l’impulsion terminée.

x(t) = 2, 0 ≤ t < 0.5 sh(t) = e−4tu(t)t = 2,5 s
y(2.5) =
4.Moyen
x(t)t32h(t)t23

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 3 s est convoluée avec l’impulsion h(t) = 3 pour 0 ≤ t < 2 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 2, 0 ≤ t < 3 sh(t) = 3, 0 ≤ t < 2 s
Ay =
5.Difficile
x(t)t (ms)2,551010−10

Un signal triangulaire monte et descend linéairement entre −10 et +10 avec la période T = 5 ms. Trouvez l’amplitude c1 de sa composante de Fourier à 200 Hz.

±10T = 5 msf = 200 Hz
c1 =
6.Difficile
u[n]4+y[n]0,9·z⁻¹+

Un système obéit à y[n] = 0,9·y[n − 1] + 4·x[n] et part du repos. L’entrée est l’échelon unité x[n] = u[n]. Trouvez y[5].

y[n] = 0,9y[n − 1] + 4x[n]x[n] = u[n]
y[5] =

Corrigé

  1. 1. y[4] = 0,25
  2. 2. y[3] = 15
  3. 3. y(2.5) = 0,000145
  4. 4. Ay = 36
  5. 5. c1 = 8,106
  6. 6. y[5] = 18,74

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