Fiche d’exercices de Convolution et systèmes LTI avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
x[n]n−1012324−3536h[n]n−3−21−1101

La suite x[n] est non nulle pour n = 3…5 et h[n] pour n = -2…-1, comme indiqué. Trouvez le premier indice nfirst pour lequel y[n] = x[n] ∗ h[n] peut être non nul.

x[n]: n = 3…5h[n]: n = -2…-1
nfirst =
2.Facile
x[n]n−10−31−12−13−24h[n]n−1041−22134

On effectue la convolution des suites x[n] = {−3, −1, −1, −2} et h[n] = {4, −2, 1}. Trouvez la somme Σy[n] de tous les échantillons de y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, −1, −1, −2}, n = 0…3h[n] = {4, −2, 1}
Σy[n] =
3.Moyen
x(t)t−20h(t)t12

Le signal x(t) n’est non nul qu’entre t = −2 s et t = 0 s, et h(t) qu’entre t = 1 s et t = 2 s. Trouvez l’instant tstart où y(t) = x(t) ∗ h(t) commence.

x: −2 … 0 sh: 1 … 2 s
tstart = s
4.Moyen
x(t)t42h(t)t41

L’impulsion x(t) = 2 pour 0 ≤ t < 4 s est convoluée avec h(t), un triangle qui décroît linéairement de 1 à t = 0 jusqu’à 0 à t = 4 s. Trouvez l’aire Ay sous y(t) = x(t) ∗ h(t).

x(t) = 2, 0 ≤ t < 4 sh(0) = 1, h(4) = 0
Ay =
5.Difficile
2cos(1,5t)h(t) = 10e−2t​u(t)y(t)

L’entrée x(t) = 2·cos(1,5t) est appliquée à un système de réponse h(t) = 10·e−2tu(t). Trouvez l’amplitude Ym de la sortie en régime permanent.

h(t) = 10e−2tu(t)x(t) = 2cos(1,5t)
Ym =
6.Difficile
δ(t)y′ + 0,5y = 5xh(t)

Un système obéit à y′(t) + 0,5·y(t) = 5·x(t). Trouvez sa réponse impulsionnelle à t = 4 s, h(4).

y′ + 0,5y = 5xt = 4 s
h(4) =

Corrigé

  1. 1. nfirst = 1
  2. 2. Σy[n] = −21
  3. 3. tstart = −1 s
  4. 4. Ay = 16
  5. 5. Ym = 8
  6. 6. h(4) = 0,6767

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