Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 4,8y′ + 9y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 4,8y′ + 9y = 0
ζ =
2.Facile
t (jours)m (mg)11 dm = ?

Un traceur radioactif a une demi-vie de 13 jours. Un échantillon contient initialement 10 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 11 jours ?

m0 = 10 mgt½ = 13 dt = 11 d
m = mg
3.Moyen
t (min)T (°C)29Ta​25 °C

Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 27 °C. Au bout de 29 min, sa température est de 25 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.

T0 = 4 °CTa = 27 °CT(29) = 25 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
tyy(0) = 1y(1,5) = ?

Résolvez y″ + 5y′ + 4y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 4. Trouvez y(1,5).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 4
y(1.5) =
5.Difficile
ty1,5y(1,5) = ?

Résolvez y′ + 2y = 5e−0,5t avec y(0) = 4. Trouvez y(1,5).

y′ + 2y = 5e−0,5ty(0) = 4
y(1.5) =
6.Difficile
tyK = 2ymax​ = ?

Un système obéit à y″ + 4y′ + 8y = 16 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.

y″ + 4y′ + 8y = 16y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

Corrigé

  1. 1. ζ = 0,8
  2. 2. m = 5,563 mg
  3. 3. k = 0,08422 min⁻¹
  4. 4. y(1.5) = 0,5909
  5. 5. y(1.5) = 1,608
  6. 6. ymax = 2,086

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