1.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 145 à t = 3 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(3) = 145
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 9 jours. Un échantillon contient initialement 40 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 29 jours ?
m0 = 40 mgt½ = 9 dt = 29 d
m = mg
3.Moyen
Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 29 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,09 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 19 min.
T0 = 5 °CTa = 29 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 19 min
T = °C
4.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Au bout de 24 min, sa température est de 17 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 13 °C ?
T0 = 4 °CTa = 23 °CT(24) = 17 °CT = 13 °C
t = min
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 4x2 pour x > 0, avec y(1) = −2. Trouvez y(2).
y′ + 2y/x = 4x2y(1) = −2
y(2) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + 3y′ + 27,25y = 136,3y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
Corrigé
- 1. k = 0,3549 h⁻¹
- 2. m = 4,286 mg
- 3. T = 24,66 °C
- 4. t = 13,36 min
- 5. y(2) = 5,7
- 6. y(0.25) = 2,938
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