1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 14,4y′ + 36y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 14,4y′ + 36y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 3y′ + 2y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 21 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,02 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 60 min.
T0 = 500 °CTa = 21 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 60 min
T = °C
4.Moyen
Une tasse de café à 88 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Au bout de 16 min, sa température est de 40 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 33 °C ?
T0 = 88 °CTa = 22 °CT(16) = 40 °CT = 33 °C
t = min
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 3x2 pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(2).
y′ + 2y/x = 3x2y(1) = −1
y(2) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 29y = 290 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. ζ = 1,2
- 2. r = −1
- 3. T = 165,3 °C
- 4. t = 22,06 min
- 5. y(2) = 4,4
- 6. ymax = 12,85
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