1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 2000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,16 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 6000 cellules ?
N0 = 2000k = 0,16 h⁻¹N = 6000
t = h
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 19,2y′ + 64y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 19,2y′ + 64y = 0
ζ =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 440 °C refroidit dans un atelier à 28 °C. Au bout de 37 min, sa température est de 164 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 28 °CT(37) = 164 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Au bout de 21 min, sa température est de 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 23 °CT(21) = 20 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez y′ + 3y = 6e−0,5t avec y(0) = 2. Trouvez y(2).
y′ + 3y = 6e−0,5ty(0) = 2
y(2) =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 4 pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(2).
y′ + y/x = 4y(1) = −1
y(2) =
Corrigé
- 1. t = 6,866 h
- 2. ζ = 1,2
- 3. k = 0,02996 min⁻¹
- 4. k = 0,08532 min⁻¹
- 5. y(2) = 0,8819
- 6. y(2) = 2,5
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