1.Facile
Pour l’équation y″ + 7y′ + 12y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 100 à t = 0 et 20 à t = 12 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 100y(12) = 20
k = h⁻¹
3.Moyen
Une tasse de café à 92 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,09 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 7 min.
T0 = 92 °CTa = 18 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 7 min
T = °C
4.Moyen
Une tasse de café à 85 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Au bout de 21 min, sa température est de 49 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 85 °CTa = 22 °CT(21) = 49 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez y″ + y′ + 9,25y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
Résolvez y″ + y′ + 4,25y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.5) =
Corrigé
- 1. r = −3
- 2. k = 0,1341 h⁻¹
- 3. T = 57,41 °C
- 4. k = 0,04035 min⁻¹
- 5. y(0.25) = 7,46
- 6. y(0.5) = 5,846
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