1.Facile
Pour l’équation y″ + 5y′ + 4y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 28 jours. Un échantillon contient initialement 20 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 108 jours ?
m0 = 20 mgt½ = 28 dt = 108 d
m = mg
3.Moyen
Une tasse de café à 84 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,09 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 27 min.
T0 = 84 °CTa = 18 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 27 min
T = °C
4.Moyen
Une tasse de café à 95 °C est laissée dans une pièce à 23 °C. Au bout de 10 min, sa température est de 52 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 33 °C ?
T0 = 95 °CTa = 23 °CT(10) = 52 °CT = 33 °C
t = min
5.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 13y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + y′ + 9,25y = 18,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + y′ + 9,25y = 18,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. m = 1,38 mg
- 3. T = 23,81 °C
- 4. t = 21,71 min
- 5. y(1) = −0,2425
- 6. y(1) = 3,172
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