Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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1.Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 9y′ + 18y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 6y′ + 100y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 6y′ + 100y = 0
ζ =
3.Moyen
tyy(0) = 5y(1) = ?

Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = -2. Trouvez y(1).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(1) =
4.Moyen
t (min)T (°C)54Ta​243 °C

Une pièce d’acier forgé à 400 °C refroidit dans un atelier à 23 °C. Au bout de 54 min, sa température est de 243 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.

T0 = 400 °CTa = 23 °CT(54) = 243 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
tyK = 10y(0,25) = ?

Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 200 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.

y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
tyy(0) = 10y(0,25) = ?

Résolvez y″ + 2y′ + 17y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,25) ; angles en radians.

y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.25) =

Corrigé

  1. 1. r = −3
  2. 2. ζ = 0,3
  3. 3. y(1) = 0,8962
  4. 4. k = 0,009974 min⁻¹
  5. 5. y(0.25) = 4,171
  6. 6. y(0.25) = 5,846

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