1.Facile
Pour l’équation y″ + 6y′ + 5y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 23 jours. Un échantillon contient initialement 20 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 59 jours ?
m0 = 20 mgt½ = 23 dt = 59 d
m = mg
3.Moyen
Une tasse de café à 95 °C est laissée dans une pièce à 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,11 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 20 min.
T0 = 95 °CTa = 20 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 20 min
T = °C
4.Moyen
Résolvez y″ + 7y′ + 12y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 6. Trouvez y(1).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 3y′(0) = 6
y(1) =
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 3 pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(3).
y′ + y/x = 3y(1) = −1
y(3) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 5y = 50 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. m = 3,379 mg
- 3. T = 28,31 °C
- 4. y(1) = 0,6214
- 5. y(3) = 3,667
- 6. ymax = 12,08
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