Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
t (h)y12 h300

Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 500 à t = 0 et 300 à t = 12 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.

y(0) = 500y(12) = 300
k = h⁻¹
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 6y′ + 4y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 6y′ + 4y = 0
ζ =
3.Moyen
t (min)T (°C)15Ta​57 °C74 °C

Une tasse de café à 86 °C est laissée dans une pièce à 21 °C. Au bout de 15 min, sa température est de 57 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 74 °C ?

T0 = 86 °CTa = 21 °CT(15) = 57 °CT = 74 °C
t = min
4.Moyen
tyy(0) = 1y(1,5) = ?

Résolvez y″ + 2y′ + y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = -1. Trouvez y(1,5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = -1
y(1.5) =
5.Difficile
tyy(0) = 2y(0,25) = ?

Résolvez y″ + 4y′ + 13y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,25) ; angles en radians.

y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
tyK = 5y(0,5) = ?

Un système obéit à y″ + y′ + 9,25y = 46,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.

y″ + y′ + 9,25y = 46,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =

Corrigé

  1. 1. k = 0,04257 h⁻¹
  2. 2. ζ = 1,5
  3. 3. t = 5,181 min
  4. 4. y(1.5) = 0,2231
  5. 5. y(0.25) = 1,439
  6. 6. y(0.5) = 4,077

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