1.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 18 jours. Un échantillon contient initialement 10 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 50 jours ?
m0 = 10 mgt½ = 18 dt = 50 d
m = mg
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 4,2y′ + 9y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 4,2y′ + 9y = 0
ζ =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 300 °C refroidit dans un atelier à 28 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,04 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 56 min.
T0 = 300 °CTa = 28 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 56 min
T = °C
4.Moyen
Une tasse de café à 91 °C est laissée dans une pièce à 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,11 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 16 min.
T0 = 91 °CTa = 20 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 16 min
T = °C
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 5x2 pour x > 0, avec y(1) = 1. Trouvez y(2).
y′ + 3y/x = 5x2y(1) = 1
y(2) =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = x pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(2).
y′ + 3y/x = xy(1) = −1
y(2) =
Corrigé
- 1. m = 1,458 mg
- 2. ζ = 0,7
- 3. T = 56,96 °C
- 4. T = 32,22 °C
- 5. y(2) = 6,688
- 6. y(2) = 0,65
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