1.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 6 jours. Un échantillon contient initialement 100 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 13 jours ?
m0 = 100 mgt½ = 6 dt = 13 d
m = mg
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,09 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 3000 cellules ?
N0 = 1000k = 0,09 h⁻¹N = 3000
t = h
3.Moyen
Une canette de soda à 6 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Au bout de 7 min, sa température est de 9 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 16 °C ?
T0 = 6 °CTa = 23 °CT(7) = 9 °CT = 16 °C
t = min
4.Moyen
Une tasse de café à 86 °C est laissée dans une pièce à 18 °C. Au bout de 14 min, sa température est de 35 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 23 °C ?
T0 = 86 °CTa = 18 °CT(14) = 35 °CT = 23 °C
t = min
5.Difficile
Résolvez y′ + 2y = 6e−0,5t avec y(0) = 3. Trouvez y(0,5).
y′ + 2y = 6e−0,5ty(0) = 3
y(0.5) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 17y = 34 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. m = 22,27 mg
- 2. t = 12,21 h
- 3. t = 31,99 min
- 4. t = 26,36 min
- 5. y(0.5) = 2,747
- 6. ymax = 2,912
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