1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 9,6y′ + 64y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 9,6y′ + 64y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,07 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 7500 cellules ?
N0 = 1500k = 0,07 h⁻¹N = 7500
t = h
3.Moyen
Résolvez y″ + 8y′ + 16y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 2. Trouvez y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(1.5) =
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 300 °C refroidit dans un atelier à 27 °C. Au bout de 31 min, sa température est de 106 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 203 °C ?
T0 = 300 °CTa = 27 °CT(31) = 106 °CT = 203 °C
t = min
5.Difficile
Une cuve contient 1000 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 20 kg de sel ?
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = x pour x > 0, avec y(1) = −1. Trouvez y(2).
y′ + 2y/x = xy(1) = −1
y(2) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,6
- 2. t = 22,99 h
- 3. y(1.5) = 0,02479
- 4. t = 10,97 min
- 5. t = 255,4 min
- 6. y(2) = 0,6875
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