1.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 500 à t = 0 et 300 à t = 3 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 500y(3) = 300
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 6y′ + 8y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 320 °C refroidit dans un atelier à 27 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,03 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 10 min.
T0 = 320 °CTa = 27 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 10 min
T = °C
4.Moyen
Résolvez y″ + 8y′ + 16y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = -1. Trouvez y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = -1
y(1) =
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 4x2 pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(3).
y′ + 3y/x = 4x2y(1) = 0
y(3) =
6.Difficile
Une cuve contient 400 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 75 min ?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
Corrigé
- 1. k = 0,1703 h⁻¹
- 2. r = −2
- 3. T = 244,1 °C
- 4. y(1) = 0,4396
- 5. y(3) = 17,98
- 6. m = 25,02 kg
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