1.Facile
Pour l’équation y″ + 4y′ + 3y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 200 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,11 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 400 cellules ?
N0 = 200k = 0,11 h⁻¹N = 400
t = h
3.Moyen
Résolvez y″ + 2y′ + y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 0. Trouvez y(2).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(2) =
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 300 °C refroidit dans un atelier à 24 °C. Au bout de 55 min, sa température est de 116 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 226 °C ?
T0 = 300 °CTa = 24 °CT(55) = 116 °CT = 226 °C
t = min
5.Difficile
Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 23 kg de sel ?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
t = min
6.Difficile
Résolvez y′ + 0,5y = 2e−t avec y(0) = 3. Trouvez y(2).
y′ + 0,5y = 2e−ty(0) = 3
y(2) =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. t = 6,301 h
- 3. y(2) = 2,03
- 4. t = 15,63 min
- 5. t = 229,1 min
- 6. y(2) = 2,034
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