1.Facile
Pour l’équation y″ + 9y′ + 20y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 9y′ + 20y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 400 à t = 0 et 180 à t = 4 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 400y(4) = 180
k = h⁻¹
3.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 26 °C. Au bout de 28 min, sa température est de 22 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 24 °C ?
T0 = 4 °CTa = 26 °CT(28) = 22 °CT = 24 °C
t = min
4.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Au bout de 7 min, sa température est de 8 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 14 °C ?
T0 = 3 °CTa = 23 °CT(7) = 8 °CT = 14 °C
t = min
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 3x pour x > 0, avec y(1) = −3. Trouvez y(3).
y′ + 2y/x = 3xy(1) = −3
y(3) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 29y = 29 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. r = −4
- 2. k = 0,1996 h⁻¹
- 3. t = 39,38 min
- 4. t = 19,43 min
- 5. y(3) = 6,333
- 6. ymax = 1,285
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