1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 18y′ + 36y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 18y′ + 36y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 5y′ + 6y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
3.Moyen
Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 2. Trouvez y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(0.5) =
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 29 °C. Au bout de 43 min, sa température est de 113 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 345 °C ?
T0 = 500 °CTa = 29 °CT(43) = 113 °CT = 345 °C
t = min
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 29y = 29 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 29y = 29y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 20y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1) =
Corrigé
- 1. ζ = 1,5
- 2. r = −2
- 3. y(0.5) = 0,781
- 4. t = 9,955 min
- 5. y(1) = 1,014
- 6. y(1) = −0,6984
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