1.Facile
Pour l’équation y″ + 6y′ + 5y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 6y′ + 5y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 500 à t = 0 et 375 à t = 12 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 500y(12) = 375
k = h⁻¹
3.Moyen
Une tasse de café à 84 °C est laissée dans une pièce à 24 °C. Au bout de 27 min, sa température est de 33 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 27 °C ?
T0 = 84 °CTa = 24 °CT(27) = 33 °CT = 27 °C
t = min
4.Moyen
Une tasse de café à 95 °C est laissée dans une pièce à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,04 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 8 min.
T0 = 95 °CTa = 23 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 8 min
T = °C
5.Difficile
Une cuve contient 400 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 4 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 55 min ?
V = 400 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
6.Difficile
Une cuve contient 200 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 35 min ?
V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. k = 0,02397 h⁻¹
- 3. t = 42,64 min
- 4. T = 75,28 °C
- 5. m = 53,84 kg
- 6. m = 23,33 kg
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