1.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 25 jours. Un échantillon contient initialement 40 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 35 jours ?
m0 = 40 mgt½ = 25 dt = 35 d
m = mg
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 30 à t = 8 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(8) = 30
k = h⁻¹
3.Moyen
Une tasse de café à 80 °C est laissée dans une pièce à 20 °C. Au bout de 26 min, sa température est de 36 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 80 °CTa = 20 °CT(26) = 36 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Résolvez y″ + 7y′ + 12y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 6. Trouvez y(2).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 3y′(0) = 6
y(2) =
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 13y = 13 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 5 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 40 min ?
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
Corrigé
- 1. m = 15,16 mg
- 2. k = 0,06385 h⁻¹
- 3. k = 0,05084 min⁻¹
- 4. y(2) = 0,03959
- 5. y(0.25) = 0,2806
- 6. m = 36,32 kg
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