Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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1.Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 6y′ + 8y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 12y′ + 25y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 12y′ + 25y = 0
ζ =
3.Moyen
tyy(0) = 2y(0,5) = ?

Résolvez y″ + 5y′ + 4y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = -4. Trouvez y(0,5).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(0.5) =
4.Moyen
t (min)T (°C)14Ta​298 °C383 °C

Une pièce d’acier forgé à 440 °C refroidit dans un atelier à 26 °C. Au bout de 14 min, sa température est de 298 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 383 °C ?

T0 = 440 °CTa = 26 °CT(14) = 298 °CT = 383 °C
t = min
5.Difficile
tyK = 5y(0,75) = ?

Un système obéit à y″ + 2y′ + 17y = 85 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,75) ; angles en radians.

y″ + 2y′ + 17y = 85y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Difficile
tyy(0) = 10y(0,75) = ?

Résolvez y″ + 3y′ + 6,25y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,75) ; angles en radians.

y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.75) =

Corrigé

  1. 1. r = −2
  2. 2. ζ = 1,2
  3. 3. y(0.5) = 0,8989
  4. 4. t = 4,937 min
  5. 5. y(0.75) = 7,255
  6. 6. y(0.75) = 2,658

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