1.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 95 à t = 12 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(12) = 95
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 6y′ + 25y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 6y′ + 25y = 0
ζ =
3.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 30 °C. Au bout de 6 min, sa température est de 11 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 21 °C ?
T0 = 3 °CTa = 30 °CT(6) = 11 °CT = 21 °C
t = min
4.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 29 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,1 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 11 min.
T0 = 3 °CTa = 29 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 11 min
T = °C
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 29y = 58 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 29y = 58y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 3x pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(2).
y′ + y/x = 3xy(1) = 0
y(2) =
Corrigé
- 1. k = 0,05349 h⁻¹
- 2. ζ = 0,6
- 3. t = 18,76 min
- 4. T = 20,35 °C
- 5. ymax = 2,569
- 6. y(2) = 3,5
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