Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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1.Facile
t (jours)m (mg)31 dm = ?

Un traceur radioactif a une demi-vie de 17 jours. Un échantillon contient initialement 100 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 31 jours ?

m0 = 100 mgt½ = 17 dt = 31 d
m = mg
2.Facile
t (jours)m (mg)25 dm = ?

Un traceur radioactif a une demi-vie de 12 jours. Un échantillon contient initialement 40 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 25 jours ?

m0 = 40 mgt½ = 12 dt = 25 d
m = mg
3.Moyen
t (min)T (°C)13Ta​331 °C

Une pièce d’acier forgé à 420 °C refroidit dans un atelier à 30 °C. Au bout de 13 min, sa température est de 331 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.

T0 = 420 °CTa = 30 °CT(13) = 331 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
tyy(0) = 2y(1,5) = ?

Résolvez y″ + 4y′ + 4y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = -1. Trouvez y(1,5).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -1
y(1.5) =
5.Difficile
tyK = 10y(1,5) = ?

Un système obéit à y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1,5) ; angles en radians.

y″ + 3y′ + 18,25y = 182,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
6.Difficile
t (min)m (kg)t = ?36 kg

Une cuve contient 400 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 36 kg de sel ?

V = 400 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min

Corrigé

  1. 1. m = 28,25 mg
  2. 2. m = 9,439 mg
  3. 3. k = 0,01993 min⁻¹
  4. 4. y(1.5) = 0,3236
  5. 5. y(1.5) = 9,098
  6. 6. t = 321,9 min

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