1.Facile
Pour l’équation y″ + 4y′ + 3y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 2 jours. Un échantillon contient initialement 50 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 1 jours ?
m0 = 50 mgt½ = 2 dt = 1 d
m = mg
3.Moyen
Une tasse de café à 81 °C est laissée dans une pièce à 24 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,1 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 7 min.
T0 = 81 °CTa = 24 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 7 min
T = °C
4.Moyen
Résolvez y″ + 7y′ + 12y = 0 avec y(0) = 4 et y′(0) = 0. Trouvez y(1).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 4y′(0) = 0
y(1) =
5.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 20 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 8 kg de sel ?
V = 100 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min
t = min
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 6 pour x > 0, avec y(1) = −3. Trouvez y(3).
y′ + 2y/x = 6y(1) = −3
y(3) =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. m = 35,36 mg
- 3. T = 52,31 °C
- 4. y(1) = 0,5768
- 5. t = 2,554 min
- 6. y(3) = 5,444
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