1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 5000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,24 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 6 h ?
N0 = 5000k = 0,24 h⁻¹t = 6 h
N =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 30y′ + 100y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 30y′ + 100y = 0
ζ =
3.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 25 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,08 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 7 min.
T0 = 3 °CTa = 25 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 7 min
T = °C
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 27 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,03 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 26 min.
T0 = 500 °CTa = 27 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 26 min
T = °C
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 5y = 25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Résolvez y′ + y = 2e−0,5t avec y(0) = 1. Trouvez y(1).
y′ + y = 2e−0,5ty(0) = 1
y(1) =
Corrigé
- 1. N = 21103
- 2. ζ = 1,5
- 3. T = 12,43 °C
- 4. T = 243,8 °C
- 5. ymax = 6,039
- 6. y(1) = 1,322
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