Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nouvelle fiche S’entraîner en ligne avec indices

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Nom: ____________________ Date: ____________

1.Facile

Un traceur radioactif a une demi-vie de 5 jours. Un échantillon contient initialement 20 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 8 jours ?

m₀ = 20 mgt_½ = 5 dt = 8 d

m = mg

2.Facile

Pour l’équation y″ + 5y′ + 4y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 5y′ + 4y = 0

r =

3.Moyen

Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,04 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 27 min.

T₀ = 4 °CT_a = 23 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 27 min

T = °C

4.Moyen

Résolvez y″ + 8y′ + 15y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = -4. Trouvez y(1).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = -4

y(1) =

5.Difficile

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 6x² pour x > 0, avec y(1) = 1. Trouvez y(3).

y′ + 3y/x = 6x²y(1) = 1

y(3) =

6.Difficile

Un système obéit à y″ + y′ + 4,25y = 8,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic y_max de sa réponse indicielle.

y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

Corrigé

1. m = 6,598 mg
2. r = −1
3. T = 16,55 °C
4. y(1) = 0,1426
5. y(3) = 27
6. y_max = 2,912

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