Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
rr² + br + c?

Pour l’équation y″ + 5y′ + 4y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + y′ + 4y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + y′ + 4y = 0
ζ =
3.Moyen
t (min)T (°C)23Ta​20 °C11 °C

Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 22 °C. Au bout de 23 min, sa température est de 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 11 °C ?

T0 = 5 °CTa = 22 °CT(23) = 20 °CT = 11 °C
t = min
4.Moyen
tyy(0) = 2y(0,5) = ?

Résolvez y″ + 8y′ + 16y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = -2. Trouvez y(0,5).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(0.5) =
5.Difficile
xy13(1, 0)y(3) = ?

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 2x pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(3).

y′ + 3y/x = 2xy(1) = 0
y(3) =
6.Difficile
tyy(0) = 1y(1,5) = ?

Résolvez y″ + y′ + 4,25y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1,5) ; angles en radians.

y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1.5) =

Corrigé

  1. 1. r = −1
  2. 2. ζ = 0,25
  3. 3. t = 4,679 min
  4. 4. y(0.5) = 0,6767
  5. 5. y(3) = 3,585
  6. 6. y(1.5) = −0,451

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