1.Facile
Pour l’équation y″ + 3y′ + 2y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 0,8y′ + 16y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 0,8y′ + 16y = 0
ζ =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 28 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,04 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 24 min.
T0 = 500 °CTa = 28 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 24 min
T = °C
4.Moyen
Résolvez y″ + 8y′ + 16y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 1. Trouvez y(0,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(0.5) =
5.Difficile
Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 4 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 55 min ?
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
6.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 2 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 65 min ?
V = 100 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. ζ = 0,1
- 3. T = 208,7 °C
- 4. y(0.5) = 2,098
- 5. m = 65,42 kg
- 6. m = 14,55 kg
Corrigés complets pas à pas : entraînez-vous sur ce thème sur examproblems.com.