1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 1,2y′ + 9y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 1,2y′ + 9y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 200 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,37 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 400 cellules ?
N0 = 200k = 0,37 h⁻¹N = 400
t = h
3.Moyen
Résolvez y″ + 8y′ + 15y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = -2. Trouvez y(1,5).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1.5) =
4.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 25 °C. Au bout de 6 min, sa température est de 8 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 25 °CT(6) = 8 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Une cuve contient 400 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 55 min ?
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 10y = 20 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,75) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,2
- 2. t = 1,873 h
- 3. y(1.5) = 0,04333
- 4. k = 0,03522 min⁻¹
- 5. m = 9,943 kg
- 6. y(0.75) = 2,348
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