1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 3,6y′ + 9y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 3,6y′ + 9y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,05 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 11 h ?
N0 = 500k = 0,05 h⁻¹t = 11 h
N =
3.Moyen
Une tasse de café à 81 °C est laissée dans une pièce à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,07 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 20 min.
T0 = 81 °CTa = 23 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 20 min
T = °C
4.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 29 °C. Au bout de 11 min, sa température est de 17 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 29 °CT(11) = 17 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez y′ + 0,5y = 6e−2t avec y(0) = 2. Trouvez y(1,5).
y′ + 0,5y = 6e−2ty(0) = 2
y(1.5) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 17y = 17 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 17y = 17y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,6
- 2. N = 866,6
- 3. T = 37,3 °C
- 4. k = 0,07029 min⁻¹
- 5. y(1.5) = 2,635
- 6. y(0.25) = 0,4154
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