1.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 400 à t = 0 et 100 à t = 8 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 400y(8) = 100
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,16 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 20 h ?
N0 = 1000k = 0,16 h⁻¹t = 20 h
N =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 320 °C refroidit dans un atelier à 20 °C. Au bout de 49 min, sa température est de 46 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 36 °C ?
T0 = 320 °CTa = 20 °CT(49) = 46 °CT = 36 °C
t = min
4.Moyen
Résolvez y″ + 6y′ + 9y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 2. Trouvez y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(1.5) =
5.Difficile
Un système obéit à y″ + y′ + 25,25y = 25,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 8y = 8 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. k = 0,1733 h⁻¹
- 2. N = 24533
- 3. t = 58,73 min
- 4. y(1.5) = 0,3388
- 5. y(0.5) = 1,577
- 6. ymax = 1,043
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