1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 5y′ + 25y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 5y′ + 25y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 14 jours. Un échantillon contient initialement 20 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 31 jours ?
m0 = 20 mgt½ = 14 dt = 31 d
m = mg
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 320 °C refroidit dans un atelier à 21 °C. Au bout de 20 min, sa température est de 266 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 21 °CT(20) = 266 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 22 °C. Au bout de 38 min, sa température est de 127 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 500 °CTa = 22 °CT(38) = 127 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Une cuve contient 100 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,05 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 6 kg de sel ?
V = 100 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 10 L/min
t = min
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 20 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. ζ = 0,5
- 2. m = 4,31 mg
- 3. k = 0,009959 min⁻¹
- 4. k = 0,03989 min⁻¹
- 5. t = 16,09 min
- 6. ymax = 1,208
Corrigés complets pas à pas : entraînez-vous sur ce thème sur examproblems.com.