Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
t (jours)m (mg)14 dm = ?

Un traceur radioactif a une demi-vie de 4 jours. Un échantillon contient initialement 120 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 14 jours ?

m0 = 120 mgt½ = 4 dt = 14 d
m = mg
2.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 9,6y′ + 16y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 9,6y′ + 16y = 0
ζ =
3.Moyen
t (min)T (°C)27Ta​19 °C13 °C

Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 27 °C. Au bout de 27 min, sa température est de 19 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 13 °C ?

T0 = 4 °CTa = 27 °CT(27) = 19 °CT = 13 °C
t = min
4.Moyen
tyy(0) = 1y(2) = ?

Résolvez y″ + 4y′ + 4y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 2. Trouvez y(2).

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(2) =
5.Difficile
tyK = 5y(0,5) = ?

Un système obéit à y″ + y′ + 16,25y = 81,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,5) ; angles en radians.

y″ + y′ + 16,25y = 81,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Difficile
ty1y(1) = ?

Résolvez y′ + y = 6e−3t avec y(0) = 4. Trouvez y(1).

y′ + y = 6e−3ty(0) = 4
y(1) =

Corrigé

  1. 1. m = 10,61 mg
  2. 2. ζ = 1,2
  3. 3. t = 12,69 min
  4. 4. y(2) = 0,1648
  5. 5. y(0.5) = 6,178
  6. 6. y(1) = 2,426

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