Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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Nom: ____________________   Date: ____________

1.Facile
ty1

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 6y′ + 100y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

y″ + 6y′ + 100y = 0
ζ =
2.Facile
t (h)y6 h220

Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 400 à t = 0 et 220 à t = 6 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.

y(0) = 400y(6) = 220
k = h⁻¹
3.Moyen
tyy(0) = 5y(1) = ?

Résolvez y″ + 2y′ + y = 0 avec y(0) = 5 et y′(0) = 1. Trouvez y(1).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(1) =
4.Moyen
t (min)T (°C)9Ta​74 °C53 °C

Une tasse de café à 90 °C est laissée dans une pièce à 21 °C. Au bout de 9 min, sa température est de 74 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 53 °C ?

T0 = 90 °CTa = 21 °CT(9) = 74 °CT = 53 °C
t = min
5.Difficile
tyK = 10y(0,75) = ?

Un système obéit à y″ + 2y′ + 17y = 170 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,75) ; angles en radians.

y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Difficile
tyy(0) = 3y(0,75) = ?

Résolvez y″ + 2y′ + 26y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,75) ; angles en radians.

y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.75) =

Corrigé

  1. 1. ζ = 0,3
  2. 2. k = 0,09964 h⁻¹
  3. 3. y(1) = 4,047
  4. 4. t = 26,21 min
  5. 5. y(0.75) = 14,51
  6. 6. y(0.75) = −1,325

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