1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 2,4y′ + 16y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 2,4y′ + 16y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 9y′ + 20y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 9y′ + 20y = 0
r =
3.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 30 °C. Au bout de 30 min, sa température est de 19 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 30 °CT(30) = 19 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 25 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,08 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 5 min.
T0 = 4 °CTa = 25 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 13y = 0 avec y(0) = 10 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,75) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.75) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1,5) ; angles en radians.
y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,3
- 2. r = −4
- 3. k = 0,02867 min⁻¹
- 4. T = 10,92 °C
- 5. y(0.75) = −0,2442
- 6. y(1.5) = 5,369
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