1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 1500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,31 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 4500 cellules ?
N0 = 1500k = 0,31 h⁻¹N = 4500
t = h
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 120 à t = 0 et 420 à t = 3 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 120y(3) = 420
k = h⁻¹
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 360 °C refroidit dans un atelier à 30 °C. Au bout de 27 min, sa température est de 142 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 30 °CT(27) = 142 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une tasse de café à 88 °C est laissée dans une pièce à 24 °C. Au bout de 12 min, sa température est de 64 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 44 °C ?
T0 = 88 °CTa = 24 °CT(12) = 64 °CT = 44 °C
t = min
5.Difficile
Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 20 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 5 min ?
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
m = kg
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 10y = 50 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1,5) ; angles en radians.
y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
Corrigé
- 1. t = 3,544 h
- 2. k = 0,4176 h⁻¹
- 3. k = 0,04002 min⁻¹
- 4. t = 29,7 min
- 5. m = 34,5 kg
- 6. y(1.5) = 5,599
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