1.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 0,8y′ + 4y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 0,8y′ + 4y = 0
ζ =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 2000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,07 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 4000 cellules ?
N0 = 2000k = 0,07 h⁻¹N = 4000
t = h
3.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 28 °C. Au bout de 17 min, sa température est de 22 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 28 °CT(17) = 22 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Résolvez y″ + 6y′ + 5y = 0 avec y(0) = 2 et y′(0) = 0. Trouvez y(0,5).
y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.5) =
5.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 6x2 pour x > 0, avec y(1) = −3. Trouvez y(3).
y′ + y/x = 6x2y(1) = −3
y(3) =
6.Difficile
Résolvez y′ + 0,5y = 7e−t avec y(0) = 1. Trouvez y(0,5).
y′ + 0,5y = 7e−ty(0) = 1
y(0.5) =
Corrigé
- 1. ζ = 0,2
- 2. t = 9,902 h
- 3. k = 0,08395 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 1,475
- 5. y(3) = 39
- 6. y(0.5) = 3,191
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