1.Facile
Pour l’équation y″ + 3y′ + 2y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Pour l’équation y″ + 7y′ + 6y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 7y′ + 6y = 0
r =
3.Moyen
Une tasse de café à 82 °C est laissée dans une pièce à 21 °C. Au bout de 23 min, sa température est de 45 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 82 °CTa = 21 °CT(23) = 45 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une canette de soda à 6 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 28 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,04 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 20 min.
T0 = 6 °CTa = 28 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 20 min
T = °C
5.Difficile
Un système obéit à y″ + y′ + 16,25y = 16,25 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 6x2 pour x > 0, avec y(1) = 0. Trouvez y(2).
y′ + y/x = 6x2y(1) = 0
y(2) =
Corrigé
- 1. r = −1
- 2. r = −1
- 3. k = 0,04056 min⁻¹
- 4. T = 18,11 °C
- 5. ymax = 1,675
- 6. y(2) = 11,25
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