1.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 11 jours. Un échantillon contient initialement 20 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 14 jours ?
m0 = 20 mgt½ = 11 dt = 14 d
m = mg
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 250 à t = 0 et 100 à t = 11 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 250y(11) = 100
k = h⁻¹
3.Moyen
Une tasse de café à 87 °C est laissée dans une pièce à 22 °C. Au bout de 9 min, sa température est de 54 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 87 °CTa = 22 °CT(9) = 54 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Résolvez y″ + 8y′ + 16y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 2. Trouvez y(2).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 2
y(2) =
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 2y′ + 10y = 10 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 2y′ + 10y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 8y = 16 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic ymax de sa réponse indicielle.
y″ + 4y′ + 8y = 16y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
Corrigé
- 1. m = 8,278 mg
- 2. k = 0,0833 h⁻¹
- 3. k = 0,07874 min⁻¹
- 4. y(2) = 0,0104
- 5. ymax = 1,351
- 6. ymax = 2,086
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