1.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 120 à t = 0 et 156 à t = 8 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 120y(8) = 156
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un traceur radioactif a une demi-vie de 27 jours. Un échantillon contient initialement 50 mg. La décroissance suit dm/dt = −k·m. Quelle quantité m reste-t-il au bout de 44 jours ?
m0 = 50 mgt½ = 27 dt = 44 d
m = mg
3.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 26 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,09 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 17 min.
T0 = 4 °CTa = 26 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 17 min
T = °C
4.Moyen
Une canette de soda à 6 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 29 °C. Au bout de 29 min, sa température est de 19 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 13 °C ?
T0 = 6 °CTa = 29 °CT(29) = 19 °CT = 13 °C
t = min
5.Difficile
Une cuve contient 1000 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 40 min ?
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = 3 pour x > 0, avec y(1) = 3. Trouvez y(2).
y′ + 3y/x = 3y(1) = 3
y(2) =
Corrigé
- 1. k = 0,0328 h⁻¹
- 2. m = 16,16 mg
- 3. T = 21,24 °C
- 4. t = 12,64 min
- 5. m = 34,5 kg
- 6. y(2) = 1,781
Corrigés complets pas à pas : entraînez-vous sur ce thème sur examproblems.com.