1.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 120 à t = 0 et 300 à t = 4 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 120y(4) = 300
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 4y′ + 64y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 4y′ + 64y = 0
ζ =
3.Moyen
Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 28 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,08 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 22 min.
T0 = 5 °CTa = 28 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 22 min
T = °C
4.Moyen
Une canette de soda à 4 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 26 °C. Au bout de 26 min, sa température est de 20 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 26 °CT(26) = 20 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 13y = 0 avec y(0) = 1 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(0,5) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 13y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 100 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
Corrigé
- 1. k = 0,2291 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. T = 24,04 °C
- 4. k = 0,04997 min⁻¹
- 5. y(0.5) = 0,2707
- 6. y(0.25) = 2,086
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