1.Facile
Une grandeur décroît selon dy/dt = −k·y avec k > 0. Elle vaut 500 à t = 0 et 325 à t = 7 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 500y(7) = 325
k = h⁻¹
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 3y′ + 36y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.
y″ + 3y′ + 36y = 0
ζ =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 30 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,01 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 17 min.
T0 = 500 °CTa = 30 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 17 min
T = °C
4.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 29 °C. Au bout de 24 min, sa température est de 24 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 29 °CT(24) = 24 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 100 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(0,25) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
6.Difficile
Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 10 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,2 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 15 min ?
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
Corrigé
- 1. k = 0,06154 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. T = 426,5 °C
- 4. k = 0,06869 min⁻¹
- 5. y(0.25) = 2,086
- 6. m = 22,54 kg
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