Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

Un système masse–ressort–amortisseur est décrit par y″ + 1,2y′ + 36y = 0. Comparez-le à y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 et trouvez le coefficient d’amortissement ζ.

Une culture bactérienne commence avec 5000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,4 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 20 h ?

Une pièce d’acier forgé à 340 °C refroidit dans un atelier à 21 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,04 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 49 min.

Une pièce d’acier forgé à 500 °C refroidit dans un atelier à 26 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,03 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 59 min.

Un système obéit à y″ + 3y′ + 6,25y = 62,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez la valeur de pic y_max de sa réponse indicielle.

Une cuve contient 1000 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 5 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Quelle quantité de sel m la cuve contient-elle au bout de 95 min ?