1.Facile
Pour l’équation y″ + 5y′ + 6y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 200 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,24 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 22 h ?
N0 = 200k = 0,24 h⁻¹t = 22 h
N =
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 360 °C refroidit dans un atelier à 28 °C. Au bout de 48 min, sa température est de 233 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 28 °CT(48) = 233 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une tasse de café à 89 °C est laissée dans une pièce à 24 °C. Au bout de 13 min, sa température est de 40 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 89 °CTa = 24 °CT(13) = 40 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Résolvez y″ + 4y′ + 29y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = 0 (lâché sans vitesse initiale). Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 29y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Résolvez y′ + 0,5y = 3e−2t avec y(0) = 5. Trouvez y(1).
y′ + 0,5y = 3e−2ty(0) = 5
y(1) =
Corrigé
- 1. r = −2
- 2. N = 39274
- 3. k = 0,01004 min⁻¹
- 4. k = 0,1078 min⁻¹
- 5. y(1) = −0,04056
- 6. y(1) = 3,975
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