1.Facile
Pour l’équation y″ + 8y′ + 12y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une culture bactérienne commence avec 500 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,36 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 10 h ?
N0 = 500k = 0,36 h⁻¹t = 10 h
N =
3.Moyen
Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 29 °C. Au bout de 22 min, sa température est de 26 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(22) = 26 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une canette de soda à 3 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 28 °C. Au bout de 9 min, sa température est de 9 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 19 °C ?
T0 = 3 °CTa = 28 °CT(9) = 9 °CT = 19 °C
t = min
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1) ; angles en radians.
y″ + 3y′ + 27,25y = 54,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 20y = 20 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1,5) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
Corrigé
- 1. r = −2
- 2. N = 18299
- 3. k = 0,09452 min⁻¹
- 4. t = 33,5 min
- 5. y(1) = 2,002
- 6. y(1.5) = 0,9592
Corrigés complets pas à pas : entraînez-vous sur ce thème sur examproblems.com.