Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

Fiche d’exercices de Équations différentielles gratuite et imprimable : 6 exercices, du niveau facile au niveau examen, avec corrigé. Imprimez-la ou enregistrez-la en PDF.

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Nom: ____________________ Date: ____________

1.Facile

Pour l’équation y″ + 6y′ + 8y = 0, trouvez la racine r de l’équation caractéristique la plus proche de zéro. Elle détermine la lenteur avec laquelle la solution s’éteint.

y″ + 6y′ + 8y = 0

r =

2.Facile

Une culture bactérienne commence avec 1000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,14 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 17 h ?

N₀ = 1000k = 0,14 h⁻¹t = 17 h

N =

3.Moyen

Une tasse de café à 91 °C est laissée dans une pièce à 20 °C. Au bout de 5 min, sa température est de 73 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 47 °C ?

T₀ = 91 °CT_a = 20 °CT(5) = 73 °CT = 47 °C

t = min

4.Moyen

Une pièce d’acier forgé à 380 °C refroidit dans un atelier à 23 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Avec k = 0,03 min⁻¹, trouvez sa température T au bout de 15 min.

T₀ = 380 °CT_a = 23 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 15 min

T = °C

5.Difficile

Résolvez le problème de Cauchy y′ + 2y/x = 1 pour x > 0, avec y(1) = 3. Trouvez y(3).

y′ + 2y/x = 1y(1) = 3

y(3) =

6.Difficile

Résolvez le problème de Cauchy y′ + y/x = 5x pour x > 0, avec y(1) = 2. Trouvez y(2).

y′ + y/x = 5xy(1) = 2

y(2) =

Corrigé

1. r = −2
2. N = 10805
3. t = 16,53 min
4. T = 250,6 °C
5. y(3) = 1,296
6. y(2) = 6,833

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