Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé

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1.Facile
t (h)y3 h920

Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 400 à t = 0 et 920 à t = 3 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.

y(0) = 400y(3) = 920
k = h⁻¹
2.Facile
t (h)N6 hN = ?

Une culture bactérienne commence avec 1000 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,22 h⁻¹. Combien de cellules N y a-t-il au bout de 6 h ?

N0 = 1000k = 0,22 h⁻¹t = 6 h
N =
3.Moyen
t (min)T (°C)36Ta​153 °C64 °C

Une pièce d’acier forgé à 400 °C refroidit dans un atelier à 26 °C. Au bout de 36 min, sa température est de 153 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Combien de temps après le début, t, lui faut-il pour atteindre 64 °C ?

T0 = 400 °CTa = 26 °CT(36) = 153 °CT = 64 °C
t = min
4.Moyen
tyy(0) = 3y(0,5) = ?

Résolvez y″ + 2y′ + y = 0 avec y(0) = 3 et y′(0) = -2. Trouvez y(0,5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(0.5) =
5.Difficile
t (min)m (kg)t = ?32 kg

Une cuve contient 500 L d’eau dans laquelle 20 kg de sel sont dissous. De la saumure contenant 0,1 kg de sel par litre entre à 20 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 32 kg de sel ?

V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 20 L/min
t = min
6.Difficile
t (min)m (kg)t = ?80 kg

Une cuve contient 400 L d’eau pure. De la saumure contenant 0,25 kg de sel par litre entre à 10 L/min, et la solution bien mélangée sort au même débit. Au bout de combien de minutes t la cuve contient-elle 80 kg de sel ?

V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min
t = min

Corrigé

  1. 1. k = 0,2776 h⁻¹
  2. 2. N = 3743
  3. 3. t = 76,22 min
  4. 4. y(0.5) = 2,123
  5. 5. t = 12,77 min
  6. 6. t = 64,38 min

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