1.Facile
Une culture bactérienne commence avec 200 cellules et croît selon dN/dt = k·N avec k = 0,17 h⁻¹. Au bout de combien d’heures t y a-t-il 1000 cellules ?
N0 = 200k = 0,17 h⁻¹N = 1000
t = h
Fiche d’exercices de Équations différentielles avec corrigé
2.Facile
Une grandeur croît selon dy/dt = k·y avec k > 0. Elle vaut 50 à t = 0 et 170 à t = 3 h. Trouvez la constante de vitesse k en h⁻¹.
y(0) = 50y(3) = 170
k = h⁻¹
3.Moyen
Une pièce d’acier forgé à 440 °C refroidit dans un atelier à 25 °C. Au bout de 40 min, sa température est de 150 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 25 °CT(40) = 150 °C
k = min⁻¹
4.Moyen
Une canette de soda à 5 °C est sortie du réfrigérateur dans une pièce à 26 °C. Au bout de 7 min, sa température est de 12 °C. Elle suit la loi de refroidissement de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Trouvez la constante k en min⁻¹.
T0 = 5 °CTa = 26 °CT(7) = 12 °C
k = min⁻¹
5.Difficile
Un système obéit à y″ + 4y′ + 29y = 290 pour t ≥ 0, à partir du repos : y(0) = 0, y′(0) = 0. Trouvez y(1,5) ; angles en radians.
y″ + 4y′ + 29y = 290y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
6.Difficile
Résolvez le problème de Cauchy y′ + 3y/x = x pour x > 0, avec y(1) = 4. Trouvez y(3).
y′ + 3y/x = xy(1) = 4
y(3) =
Corrigé
- 1. t = 9,467 h
- 2. k = 0,4079 h⁻¹
- 3. k = 0,03 min⁻¹
- 4. k = 0,05792 min⁻¹
- 5. y(1.5) = 9,641
- 6. y(3) = 1,941
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